Question

如果函数f（x）满足在集合N^*上的值域仍是集合N^*，则把函数f（x）称为N函数．例如：f（x）=x就是N函数．
（Ⅰ）判断下列函数：①y=x²，②y=2x-1，③y=[

x

]中，哪些是N函数？（只需写出判断结果）；
（Ⅱ）判断函数g（x）=[lnx]+1是否为N函数，并证明你的结论；
（Ⅲ）证明：对于任意实数a，b，函数f（x）=[b•a^x]都不是N函数．
（注：“[x]”表示不超过x的最大整数）

Answer 1

分析：（Ⅰ）由N函数得定义，结合给出的三个函数解析式，直接判断出函数y=x²，y=2x-1不是N函数，函数y=[

x

]是N函数；
（Ⅱ）证明对?x∈N^*，[lnx]+1∈N^*．同时证明对?[lnx]+1∈N^*，总存在x∈N^*，满足[lnx]+1∈N^*；
（Ⅲ）对a，b分类证明，当b≤0，b＞0且a≤0时举特值验证，当b＞0且0＜a≤1时由指数函数的性质证明，当b＞0且a＞1时，总能找到一个正整数k，使得b•a^k到b•a^k+1之间有一些正整数，从而说明函数f（x）=[b•a^x]都不是N函数．

解答：（Ⅰ）解：只有y=[

x

]是N函数．
（Ⅱ）函数g（x）=[lnx]+1是N函数．
证明如下：
显然，?x∈N^*，[lnx]+1∈N^*．
不妨设[lnx]+1=k，k∈N^*，
由[lnx]+1=k，可得k-1≤lnx＜k，
即1≤e^k-1≤x＜e^k．
∵?k∈N^*，恒有e^k-e^k-1=e^k-1（e-1）＞1成立，
∴一定存在x∈N^*，满足e^k-1≤x＜e^k，
∴设?k∈N^*，总存在x∈N^*，满足[lnx]+1=k，
∴函数g（x）=[lnx]+1是N函数；
（Ⅲ）证明：（1）当b≤0时，有f（2）=[b•a²]≤0，
∴函数f（x）=[b•a^x]都不是N函数．
（2）当b＞0时，①若a≤0，有f（1）=[b•a]≤0，
∴函数f（x）=[b•a^x]都不是N函数．
②若0＜a≤1，由指数函数性质易得，b•a^x≤b•a，
∴?x∈N^*，都有f（x）=[b•a^x]≤[b•a]．
函数f（x）=[b•a^x]都不是N函数．
③若a＞1，令b•a^m+1-b•a^m＞2，则m＞loga

2

b(a-1)

，
∴一定存在正整数k，使得b•a^k+1-b•a^k＞2，
∴?n1，n2∈N*，使得b•ak＜n1＜n2＜b•ak+1，
∴f（k）＜n₁＜n₂≤f（k+1）．
又∵当x＜k时，b•a^x＜b•a^k，∴f（x）≤f（k）；
当x＞k+1时，b•a^x＞b•a^k，∴f（x）≥f（k+1），
∴?x∈N^*，都有n₁∉{f（x）|x∈N^*}，
∴函数f（x）=[b•a^x]都不是N函数．
综上所述，对于任意实数a，b，函数f（x）=[b•a^x]都不是N函数．

点评：本题是新定义题，考查了函数的值域，解答的关键是学生对新定义N函数的理解，考查了分类讨论的数学思想方法，是有一定难度的题目．