Question

已知P（11，2）是圆x²+y²+2x-4y-164=0内一点，则过P点的所有弦中，弦长为整数的共有______条．

Answer 1

∵圆x²+y²+2x-4y-164=0化成标准方程得：（x+1）²+（y-2）²=169
∴x²+y²+2x-4y-164=0的圆心为C（-1，2），半径r=13
∵P（11，2）到圆C的距离为|PC|=

(11+1)2+(2-2)2

=12
∴结合垂径定理，得经过P点且与PC垂直的弦长为2

132-122

=10，
即经过点P最短的弦长等于10
又∵经过点P最长的弦为圆C的直径2r=26
∴经过点P且长度为整数的弦长可能是：10，11，12，…，26
其中长度为10和26的各有一条，根据对称性得长度为11，12，…，25的弦各有两条
因此，弦长为整数的弦共有2（25-10）+2=32条
故答案为：32