Question

1．已知直线l过点M（-5，-5）且和圆C：x²+y²+4y-21=0相交于A，B；若OA⊥OB，求直线l的方程．

Answer 1

分析 通过OA⊥OB，设出圆的方程，（0，0）代入可得-21+λ（5k-5）=0①，圆心（-$\frac{λk}{2}$，$\frac{λ-4}{2}$），代入kx-y+5k-5=0可得k×（-$\frac{λk}{2}$）-$\frac{λ-4}{2}$+5k-5=0②即可求出直线l的方程．

解答 解：圆的圆心坐标（0，-2），半径为5，点M在圆外，设直线AB的斜率为k，
则直线的方程为：y+5=k（x+5），
即kx-y+5k-5=0，
设以AB为直径的圆的方程为x²+y²+4y-21+λ（kx-y+5k-5）=0
（0，0）代入可得-21+λ（5k-5）=0①
圆心（-$\frac{λk}{2}$，$\frac{λ-4}{2}$），代入kx-y+5k-5=0可得k×（-$\frac{λk}{2}$）-$\frac{λ-4}{2}$+5k-5=0②
由①②解得：k=2$±\sqrt{3}$．
∴直线l的方程为y+5=2$±\sqrt{3}$（x+5）．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查计算能力，属于中档题．