【题目】如图,是一个半圆柱与多面体构成的几何体,平面与半圆柱的下底面共面,且, 为弧上(不与重合)的动点.
(1)证明: 平面;
(2)若四边形为正方形,且, ,求二面角的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2) .
【解析】试题分析:(1)由平面,可得,由是上底面对应圆的直径,可得,根据线面垂直的判定定理可得平面;(2)以为坐标原点,以 为轴,过作与平面垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系,利用向量垂直数量积为零,列方程组分别求出平面与平面的一个法向量,利用空间向量夹角余弦公式可得面角的余弦值.
试题解析:(1)在半圆柱中, 平面,所以.
因为是上底面对应圆的直径,所以.
因为, 平面, ,所以平面.
(2)以为坐标原点,以 为轴,过作与平面 垂直的直线为轴,建立空间直角坐标系.如图所示,
设,则, , , , .
所以, .
平面的一个法向量.
设平面的一个法向量,则,令,则,
所以可取,所以.
由图可知二面角为钝角,所以所求二面角的余弦值为.
【方法点晴】本题主要考查线面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角,属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是:(1)观察图形,建立恰当的空间直角坐标系;(2)写出相应点的坐标,求出相应直线的方向向量;(3)设出相应平面的法向量,利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量;(4)将空间位置关系转化为向量关系;(5)根据定理结论求出相应的角和距离.
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【题目】如图,椭圆: 的焦距与椭圆: 的短轴长相等,且与的长轴长相等,这两个椭圆在第一象限的交点为,直线经过在轴正半轴上的顶点且与直线(为坐标原点)垂直, 与的另一个交点为, 与交于, 两点.
(1)求的标准方程;
(2)求.
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【题目】某中学举行了一次“环保知识竞赛”活动. 为了了解本次竞赛学生成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为)进行统计. 按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).
(1)求样本容量和频率分布直方图中的,的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛成绩是80分以上(含80分)的同学中随机抽取3名同学到市政广场参加环保知识宣传的志愿者活动,设表示所抽取的3名同学中得分在[80,90)的学生人数,求的分布列及数学期望.
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【题目】已知椭圆,抛物线的焦点均在轴上, 的中心和的顶点均为原点,从, 上分别取两个点,将其坐标记录于下表中:
3 | -2 | 4 | ||
0 | -4 |
(1)求的标准方程;
(2)若直线与椭圆交于不同的两点,且线段的垂直平分线过定点,求实数的取值范围.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知圆经过抛物线与坐标轴的三个交点.
(1)求圆的方程;
(2)经过点的直线与圆相交于,两点,若圆在,两点处的切线互相垂直,求直线的方程.
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【题目】已知,函数F(x)=min{2|x1|,x22ax+4a2},
其中min{p,q}=
(Ⅰ)求使得等式F(x)=x22ax+4a2成立的x的取值范围;
(Ⅱ)(ⅰ)求F(x)的最小值m(a);
(ⅱ)求F(x)在区间[0,6]上的最大值M(a).
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【题目】选修4—4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为 (其中为参数).以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度,曲线的极坐标方程为.
(1)把曲线的方程化为普通方程, 的方程化为直角坐标方程;
(2)若曲线, 相交于两点, 的中点为,过点做曲线的垂线交曲线于两点,求.
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