Question

15．对任意实数a，b，定义运算“⊕”：$a⊕b=\left\{\begin{array}{l}b，a-b≥1\\ a，a-b＜1\end{array}\right.$，设f（x）=（x²-1）⊕（4+x），若函数y=f（x）-k有三个不同零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （-1，2]
• B． [0，1]
• C． [-1，3）
• D． [-1，1）

Answer 1

分析 化简函数f（x）的解析式，作出函数y=f（x）的图象，由题意可得，函数y=f（x）与y=k的图象有3个交点，结合图象求得结果．

解答 解：由x²-1-（4+x）=x²-x-5≥1得x²-x-6≥0，得x≥3或x≤-2，此时f（x）=4+x，
由x²-1-（4+x）=x²-x-5＜1得x²-x-6＜0，得-2＜x＜3，此时f（x）=x²-1，
即f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4+x，}&{x≥3或x≤-2}\\{{x}^{2}-1，}&{-2＜x＜3}\end{array}\right.$，
若函数y=f（x）-k有三个不同零点，
即y=f（x）-k=0，即k=f（x）有三个不同的根，
作出函数f（x）与y=k的图象如图：
当k=2时，两个函数有三个交点，
当k=-1时，两个函数有两个交点，
故若函数f（x）与y=k有三个不同的交点，
则-1＜k≤2，
即实数k的取值范围是（-1，2]，
故选：A

点评 本题主要考查数形结合解决函数的零点个数问题，关键是正确画图、识图；体现了化归与转化、数形结合的数学思想，属于中档题．