Question

【题目】已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜ ）的部分图象如图所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍，再将所得函数图象向右平移 个单位，得到函数y=g（x）的图象，求g（x）的单调递增区间；
（3）当x∈[﹣ ， ]时，求函数y=f（x+ ）﹣ f（x+ ）的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由图可得， ，

∴T=2π，则 ．

由五点作图的第二点知， φ= ，则φ= ．

∴f（x）=Asin（x+ ），

又f（0）=Asin =2，得A=4．

∴f（x）=4sin（x+ ）；

（2）解：将函数y=f（x）的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的 倍所得函数解析式

为y=4sin（2x+ ），再将所得函数图象向右平移 个单位，解析式变为y=4sin[2（x﹣ ）+ ]，

∴g（x）=4sin（2x﹣ ）．

由 ，解得： ．

∴g（x）的单调递增区间为 ；

（3）解：y=f（x+ ）﹣ f（x+ ）

=4sin（x+ + ）﹣4 sin（x+ + ）

=4sin（x+ ）﹣4 cosx

=4sinxcos +4cosxsin ﹣

=4sin（x﹣ ）．

∵x∈[﹣ ， ]，

∴ ，

∴函数y=f（x+ ）﹣ f（x+ ）的最小值为﹣4，最大值为2．

【解析】（1）由图得到函数的四分之三周期，进一步求得周期，代入周期公式求ω，然后利用五点作图的第二点求得φ，再由f（0）=2求得A的值，则函数解析式可求；（2）由函数的周期变化和平移变换求得g（x），然后再由简单的复合函数单调性的求法求解g（x）的增区间；（3）结合（1）中的f（x）的解析式求得y=f（x+ ）﹣ f（x+ ），利用三角恒等变换变形后根据x的范围求最值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换的相关知识，掌握图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．