Question

一个多面体的直观图和三视图如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点．
（Ⅰ）求证：GN⊥AC；
（Ⅱ）求二面角F-MC-D的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）连接DB，欲证GN⊥AC，只需证AC⊥面FDN，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与面FDN内两相交直线垂直，而FD⊥AC，AC⊥DN，满足定理条件；
（Ⅱ）取BC中点R，连接DR交MC于Q，连接FQ，根据二面角平面角的定义可知∠DQF即为二面角F-MC-D的平面角，在Rt△DQF中求出此角的正切值即可．

解答：解：由三视图可得直观图为直三棱柱且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC．
（Ⅰ）连接DB，可知B、N、D共线，且AC⊥DN．
又FD⊥AD，FD⊥CD，
∴FD⊥面ABCD．
∴FD⊥AC．
∴AC⊥面FDN，GN?面FDN．
∴GN⊥AC．

（Ⅱ）取BC中点R，连接DR交MC于Q，连接FQ．
在Rt△CDR和Rt△BCM中，CD=BC，RC=MB，
∴Rt△CDR≌和Rt△BCM，
∴∠RDC=∠BCM，而∠DCQ+∠BCM=90°
∴∠DCQ+∠RDC=90°，
∴RD⊥MC．
而FD⊥面ABCD，故FD⊥MC．
∴MC⊥面FDQ，
∴MC⊥FQ，
∴∠DQF即为二面角F-MC-D的平面角．
在Rt△CDR中，DR=

a2+( 1 2 a)2

=

5

2

a．
由射影定理知，CD²=DQ•DR，得DQ=

a2

5 2 a

=

2 5 a

5

．
在Rt△DQF中，tan∠DQF=

DF

DQ

=

a

2 5 a 5

=

5

2

．
故二面角F-MC-D的正切值是

5

2

．

点评：本题主要考查直三棱柱的有关知识，以及求二面角的问题，以及分析问题与解决问题的能力．简单几何体是立体几何解答题的主要载体，特别是棱柱和棱锥．由于棱锥已多次出现在高考试题中，估计今年高考会以棱柱为载体来命题．