Question

1．行列式$|\begin{array}{l}{x}&{1}\\{m+1}&{x-1}\end{array}|$的值在x∈[-1，1]上恒小于0，则实数m的取值范围是（1+∞）．．

Answer 1

分析 先根据行列式运算公式得到x²-x-m-1＜0在[-1，1]上恒小于0，分离参数得到m＞x²-x-1在[-1，1]上恒成立，设f（x）=x²-x-1求得其最大值，再由恒成立的原理求解即得．

解答 解：∵$|\begin{array}{l}{x}&{1}\\{m+1}&{x-1}\end{array}|$=x（x-1）-（m+1）=x²-x-m-1，
∴x²-x-m-1＜0在[-1，1]上恒小于0，
∴m＞x²-x-1在[-1，1]上恒成立，
设f（x）=x²-x-1=（x-$\frac{1}{2}$）²-$\frac{5}{4}$，
∴函数f（x）[-1，$\frac{1}{2}$]上单调递减，在（$\frac{1}{2}$，1]上单调递增，
∴当x=-1时，函数f（x）有最大值，即f（-1）=1+1-1=1，
∴m＞1，
故m的取值范围为（1，+∞），
故答案为：（1，+∞）

点评 本题主要考查二次函数求最值及不等式恒成立问题，恒成立问题往往转化为函数求最值问题解决．