Question

已知平面向量

a

=(

3

，-1)，

b

=(

1

2

，

3

2

)．若存在不同时为零的实数k和t，使

x

=

a

+(t2-3)

b

，

y

=-k

a

+t

b

，且

x

⊥

y

．
（1）试求函数关系式k=f（t）
（2）求使f（t）＞0的t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由题意可得

x

•

y

=0，即 [(

a

+t2-3)

b

]•(-k

a

+t

b

)=0．再由

a

•

b

=0，

a

2=4，

b

2=1，可得-4k+t（t²-3）=0，化简可得函数关系式k=f（t）．
（2）由f（t）＞0，得

1

4

t(t2-3)＞0，即t(t+

3

)•(t-

3

)＞0，由此解得t的取值范围．

解答：解：（1）∵

x

⊥

y

，∴

x

•

y

=0，即 [(

a

+t2-3)

b

]•(-k

a

+t

b

)=0．
∵

a

•

b

=0，

a

2=4，

b

2=1，∴-4k+t（t²-3）=0，即  k=

1

4

t(t2-3)．
（2）由f（t）＞0，得

1

4

t(t2-3)＞0，即t(t+

3

)•(t-

3

)＞0，解得-

3

＜t＜0 或 t＞

3

．

点评：本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量坐标形式的运算，高次不等式的解法，属于基础题．