Question

已知某抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P（m，-3）到焦点F的距离为5．
（Ⅰ）求该抛物线的方程．
（Ⅱ）设C是该抛物线上的一点，一以C为圆心的圆与其准线和y轴都相切，求C点的坐标．

Answer 1

（Ⅰ）根据P（m，-3），即P点纵坐标为-3可知抛物线开口向下，设抛物线方程x²=-2py
根据抛物线的定义可知3+

p

2

=5，
∴p=4；
∴抛物线方程为x²=-8y，
（Ⅱ）∵C为圆心的圆与其准线和y轴都相切
∴C点到准线的距离等于它到y轴的距离
∴在y轴的切点为焦点F（0，-2）
设C（x，-2），代入抛物线方程，可得x²=16
∴x=±4
∴C的坐标为（4，-2）或（-4，-2）