Question

(本小题满分13分) 2010年11月在广州召开亚运会，某小商品公司开发一种亚运会纪念品，每件产品的成本是15元，销售价是20元，月平均销售a件，通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明：如果产品的销售价提高的百分率为x(0<x<1)，那么月平均销售量减少的百分率为x²，记改进工艺后，该公司销售纪念品的月平均利润是y(元)．
(1)写出y与x的函数关系式；
(2)改进工艺后，确定该纪念品的售价，使该公司销售该纪念品的月平均利润最大．

Answer 1

解: (1)改进工艺后，每件产品的销售价为20(1＋x)元，月平均销售量为a(1－x²)件，则月平均利润
y＝a(1－x²)[20(1＋x)－15](元)，
∴y与x的函数关系式为
y＝5a(1＋4x－x²－4x³)(0<x<1)．
(2)由y′＝5a(4－2x－12x²)＝0得x₁＝，x₂＝－(舍)，
∴当0<x<时，y′>0；当<x<1时，y′<0.
∴函数y＝5a(1＋4x－x²－4x³)(0<x<1)在x＝处取得最大值．
故改进工艺后，纪念品的销售价为20＝30元时，该公司销售该纪念品的月平均利润最大．

略