Question

【题目】已知椭圆C1： + =1，圆C2：x2+y2=t经过椭圆C1的焦点．
（1）设P为椭圆上任意一点，过点P作圆C2的切线，切点为Q，求△POQ面积的取值范围，其中O为坐标原点；
（2）过点M（﹣1，0）的直线l与曲线C1 ， C2自上而下依次交于点A，B，C，D，若|AB|=|CD|，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：椭圆C1： + =1的焦点坐标为（± ，0），则t=2，设P（x，y），则丨PO丨= = = ，

由x2∈[0，6]，则丨PO丨∈[2， ]，

则△POQ面积S，S= × × ∈[1， ]，

△POQ面积的取值范围[1， ]

（2）解：设直线l的方程为：x=my﹣1；

联立 ，消去x，整理得（2m2+3）y2﹣4my﹣10=0，

设A（x1，y1），D（x2，y2），则y1+y2=

联立 ，消去x，得（m2+1）y2﹣2my﹣1=0，

设B（x3，y3），D（x3，y4），则y3+y4= ，

又丨AB丨=丨CD丨，则 = ，即y3﹣y1=y2﹣y4，

从而y1+y2=y3+y4，即 = ，解得m=0，

∴直线l的方程为x=﹣1

【解析】（1）由题意的焦点坐标，求得t的值，则丨PO丨∈[2， ]，利用三角形的面积公式，即可求得△POQ面积的取值范围；（2）将直线l的方程，代入椭圆方程及圆的方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得m的值，求得直线直线l的方程．