Question

设平面α与平面β相交于直线m，直线b在平面α内，直线c在平面β内，且c⊥m，则α⊥β是c⊥b的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：根据面面垂直的性质定理，可得当α⊥β时c⊥b成立；反之当c⊥b成立时，根据三垂线定理可得可能c是平面α的斜线，不能得到α⊥β．由此得到α⊥β是c⊥b的充分而不必要条件．

解答：解：先看充分性
当α⊥β时，因为α∩β=m，c在β内且c⊥m，所以c⊥α
而直线b?α，可得c⊥b．因此充分性成立；
再看必要性
当c⊥b时，可能c是平面α的斜线，且c在α内的射影垂直于直线b，
此时平面β经过平面α的斜线，不一定得到α⊥β．故必要性不能成立
综上，α⊥β是c⊥b的充分不必要条件
故选：A

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了线面垂直、面面垂直的判定与性质和三垂线定理等知识点，属于基础题．