Question

【题目】已知三角形ABC中，B（﹣1，0），C（1，0），且|AB|+|AC|=4．
（Ⅰ）求动点A的轨迹M的方程；
（Ⅱ）P为轨迹M上动点，△PBC的内切圆面积为S1 ， 外接圆面积为S2 ， 当P在M上运动时，求 的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）根据题意知，动点A满足椭圆的定义
所以，有|F1F2|=|BC|=2c=2，|AF1|+|AF2|=|AB|+|AC|=2a=4，
且a2=b2+c2解得
所以，动点A的轨迹M满足的方程为
没有写出y≠0或x≠±2扣
（Ⅱ）设P（x0 ， y0），△PBC的内切圆为⊙O1 ， 半径为r1；△PBC的外接圆为⊙O2 ， 半径为r2 ，
∵ ，∴ ，
线段PB的垂直平分线方程为
又线段BC的垂直平分线方程为x=0，
两条垂线方程联立求得
∵ ，∴ ，
∴⊙O2的圆心为
∴
∴ ，
∵ ，∴ ，∴
∴ ，此时 ．
【解析】（Ⅰ）动点A满足椭圆的定义，由此能求出动点A的轨迹M满足的方程．（Ⅱ）设P（x0 ， y0），△PBC的内切圆为⊙O1 ， 半径为r1；△PBC的外接圆为⊙O2 ， 半径为r2 ， 推导出 ， ，从而 ，由此能求出 的最小值．