Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，s_n表示该数列前n项的和，且对任意正整数n，恒有2s_n=a_n（a_n+1），设bn=

n

i=1

1

an+i

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）证明：无穷数列{b_n}为递增数列；
（3）是否存在正整数k，使得bn＜

k

10

对任意正整数n恒成立，若存在，求出k的最小值．

Answer 1

分析：（1）n=1时，2s₁=a₁（a₁+1），s₁=a₁，a₁＞0，解得a₁=1；n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，2s_n=a_n（a_n+1），2s_n-1=a_n-1（a_n-1+1），作差整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0．由此能求出a_n．
（2）由b_n+1-b_n=

n+1

i=1

1

an+1+i

-

n

i=1

1

an+i

=

n+1

i=1

1

n+1+i

-

n

i=1

1

n+i

=

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，能够证明无穷数列{b_n}为递增数列．
（3）由b3=

1

4

+

1

5

+

1

6

＞

6

10

，知若存在正整数k，必有k≥7．有bn=

n

i=1

1

an+i

=bn=

n

i=1

1

n+i

=bn=

2n

i=1

1

i

-

n

i=1

1

i

=

2n

i=1

1

i

-2

n

i=1

1

2i

=

n

i=1

1

(2i-1)2i

．当n≥4时，由

n

i=4

1

(2i-1)2i

＜

n

i=4

1

(2i-2)(2i-1)

，知

n

i=1

1

(2i-1)2i

-

1

2

-

1

12

-

1

30

＜

n

i=2

1

(2i-2)(2i-1)

-

1

6

-

1

20

．由此能导出存在正整数k使得bn＜

k

10

对任意正整数n恒成立，且k的最小值为7．

解答：解：（1）n=1时，2s₁=a₁（a₁+1），s₁=a₁，a₁＞0，
解得a₁=1．
n≥2时，a_n=s_n-s_n-1，
2s_n=a_n（a_n+1），2s_n-1=a_n-1（a_n-1+1），
作差得2a_n=a_n（a_n+1）-a_n-1（a_n-1+1），
整理得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，
∴a_n+a_n-1≠0，
∴a_n-a_n-1=1，
对n≥2时恒成立，因此数列{a_n}是首项为1，公差为1的等差数列，
故a_n=n；
（2）∵b_n+1-b_n=

n+1

i=1

1

an+1+i

-

n

i=1

1

an+i

=

n+1

i=1

1

n+1+i

-

n

i=1

1

n+i

=

1

2n+1

+

1

2n+2

-

1

n+1

=

1

2n+1

-

1

2n+2

=

1

(2n+1)(2n+2)

＞0，
对任意正整数n恒成立∴无穷数列{b_n}为递增数列．
（3）存在，且k的最小值为7．
∵b3=

1

4

+

1

5

+

1

6

＞

6

10

，
∴若存在正整数k，
必有k≥7．
又bn=

n

i=1

1

an+i

=bn=

n

i=1

1

n+i

=bn=

2n

i=1

1

i

-

n

i=1

1

i

=

2n

i=1

1

i

-2

n

i=1

1

2i

=

n

i=1

1

2i-1

-

n

i=1

1

2i

=

n

i=1

(

1

2i-1

-

1

2i

)=

n

i=1

1

(2i-1)2i

当n≥4时，
∵

n

i=4

1

(2i-1)2i

＜

n

i=4

1

(2i-2)(2i-1)

∴

n

i=1

1

(2i-1)2i

-

1

2

-

1

12

-

1

30

＜

n

i=2

1

(2i-2)(2i-1)

-

1

6

-

1

20

即

n

i=1

1

(2i-1)2i

＜

n

i=2

1

(2i-2)(2i-1)

+

2

5

∴2bn=2

n

i=1

1

an+i

=2

n

i=1

1

(2i-1)2i

＜

n

i=1

1

(2i-1)2i

+

n

i=2

1

(2i-2)(2i-1)

+

2

5

=

2n

i=2

(

1

i-1

-

1

i

)+

2

5

＜

2n

i=2

(

1

i-1

-

1

i

)+

2

5

=1-

1

2n

+

2

5

＜

7

5

∴bn＜

7

10

；
因此存在正整数k使得bn＜

k

10

对任意正整数n恒成立，
且k的最小值为7．

点评：本题考查数列与不等式的综合利用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．