精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
已知函数f(x)=ln(ax+1)+
1-x1+x
(x≥0,a为正实数).
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间.
分析:(Ⅰ)将a=1代入f(x)的解析式,求出f′(x),根据导数的几何意义,可得f′(1)=0,又f(1)=ln2,根据直线的点斜式方程,即可求得曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)求出f′(x),对a的值进行分类讨论,当a-2≥0时,f'(x)>0在[0,+∞)上恒成立,即可得到函数的单调区间,当a-2<0时,求出f'(x)=0的根,再根据f'(x)的正负,即可确定函数的单调区间,最后,综合上面的答案,即可求得函数f(x)的单调区间.
解答:解:(Ⅰ)∵函数f(x)=ln(ax+1)+
1-x
1+x
(x≥0,a为正实数),
∴当a=1时,f(x)=ln(x+1)+
1-x
1+x

f′(x)=
1
x+1
+
-2
(1+x)2

∴切线的斜率为k=f'(1)=0,又f(1)=ln2,
∴切点为(1,ln2),
根据直线的点斜式方程,可得y-ln2=0×(x-1),即y=ln2,
∴所求的切线方程为y=ln2;
(Ⅱ)∵函数f(x)=ln(ax+1)+
1-x
1+x
(x≥0,a为正实数),
f′(x)=
a
ax+1
+
-2
(1+x)2
=
ax2+a-2
(ax+1)(1+x)2

①当a-2≥0,即a≥2时,
∵x≥0,
∴f'(x)>0,
∴函数f(x)在[0,+∞)上单调递增;
②当a-2<0,即0<a<2时,
令f'(x)=0,则ax2+a-2=0(x≥0),
x=
2-a
a

∴当x∈[0,
2-a
a
)
时,f'(x)<0,当x∈(
2-a
a
,+∞)
时,f'(x)>0,
∴函数f(x)的单调递增区间为(
2-a
a
,+∞)
,函数f(x)的单调递减区间为[0,
2-a
a
)

综合①②可得,当a≥2时,函数f(x)的单调递增区间为[0,+∞),
当0<a<2时,函数f(x)的单调递增区间为(
2-a
a
,+∞)
,函数f(x)的单调递减区间为[0,
2-a
a
)
点评:本题考查了导数的几何意义,导数的几何意义即在某点处的导数即该点处切线的斜率,解题时要注意运用切点在曲线上和切点在切线上.考查了利用导数研究函数的单调性,对于利用导数研究函数的单调性,注意导数的正负对应着函数的单调性,求解单调性问题时,要注意单调区间是定义域的子集.利用导数研究函数问题时,经常会运用分类讨论的数学思想方法.属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
3
x3-
3
2
ax2-(a-3)x+b

(1)若函数f(x)在P(0,f(0))的切线方程为y=5x+1,求实数a,b的值:
(2)当a<3时,令g(x)=
f′(x)
x
,求y=g(x)在[l,2]上的最大值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
1
2
x2-alnx
的图象在点P(2,f(2))处的切线方程为l:y=x+b
(1)求出函数y=f(x)的表达式和切线l的方程;
(2)当x∈[
1
e
,e]
时(其中e=2.71828…),不等式f(x)<k恒成立,求实数k的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=lnx,g(x)=
12
x2+a
(a为常数),直线l与函数f(x)、g(x)的图象都相切,且l与函数f(x)的图象的切点的横坐标为1.
(1)求直线l的方程及a的值;
(2)当k>0时,试讨论方程f(1+x2)-g(x)=k的解的个数.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
13
x3+x2+ax

(1)讨论f(x)的单调性;
(2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=x3-
32
ax2+b
,a,b为实数,x∈R,a∈R.
(1)当1<a<2时,若f(x)在区间[-1,1]上的最小值、最大值分别为-2、1,求a、b的值;
(2)在(1)的条件下,求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程;
(3)试讨论函数F(x)=(f′(x)-2x2+4ax+a+1)•ex的极值点的个数.

查看答案和解析>>

同步练习册答案