Question

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）为不同的两点，直线l：ax+by+c=0，δ=

ax1+by1+c

ax2+by2+c

，以下命题中正确的个数为（　　）
①不论δ为何值，点M，N都不在直线l上；
②若δ=1，则过M，N的直线与直线l平行；
③若δ=-1，则直线l经过MN的中点；
④若0＜δ＜1，则点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN的反向延长线相交．

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：根据点与直线方程之间的关系分别进行判断即可．
（1）根据分式函数的性质可知ax₂+by₂+c≠0，所以正确．
（2）当δ=1时，得到过M，N的直线方程的斜率和l相等．
（3）当δ=-1时，得到直线过MN的中点．
（4）当0＜δ＜1时，利用线性规划的知识判断．

解答：解：（1）由题意知ax₂+by₂+c≠0，∴不论δ为何值，点N都不在直线l上．∴正确．
（2）当δ=1时，得ax₁+by₁+c=ax₂+by₂+c，设ax₁+by₁+c=ax₂+by₂+c=m，则ax₁+by₁+c-m=0，ax₂+by₂+c-m=0，
则点M，N都满足直线方程ax+by+（c-m）=0，∴M，N都在这方程表示的直线上，即此直线过点M，N．
∵m不为0，∴直线ax+by+（c-m）=0与直线l是平行的，∴过M，N的直线与直线l平行，∴正确．
（3）当δ=-1时，ax₁+by₁+c=-（ax₂+by₂+c），即a（x₁+x₂）+b（y₁+y₂）+2c=0，∴a(

x1+x2

2

)+b(

y1+y2

2

)+c=0，
即直线l经过MN的中点，∴正确．
（4）若0＜δ＜1，即

ax1+by1+c

ax2+by2+c

＞0，∴（ax₁+by₁+c）（ax₂+by₂+c）＞0，∴根据线性规划的内容可知点M、N在直线l的同侧且直线l与线段MN的延长线相交，∴错误．

点评：本题主要考查点与直线位置关系的判断，利用方程之间的关系是解决本题的关键，考查学生的运算和分析能力．