Question

1．已知函数g（x）=x+1，x∈[0，2]，f（x）=x²+mx+2．
（1）若方程f（x）=-$\frac{1}{2}$m有两个实根x₁，x₂，求x₁²+x₂²的取值范围；
（2）若函数F（x）=f（x）-g（x）有两个零点，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）方程f（x）=-$\frac{1}{2}$m有两个实根x₁，x₂，即方程x²+$\frac{3}{2}$mx+2=0有两个实根x₁，x₂，故△=$\frac{9}{4}{m}^{2}-8≥0$，x₁+x₂=$-\frac{3}{2}$m，x₁•x₂=2，进而可得x₁²+x₂²的取值范围；
（2）若函数F（x）=f（x）-g（x）有两个零点，即方程x²+mx+2-（x+1）=x²+（m-1）x+1=0有两个不等的实根，故△=（m-1）²-4＞0，解得答案．

解答 解：（1）∵方程f（x）=-$\frac{1}{2}$m有两个实根x₁，x₂，
即方程x²+$\frac{3}{2}$mx+2=0有两个实根x₁，x₂，
故△=$\frac{9}{4}{m}^{2}-8≥0$，
x₁+x₂=$-\frac{3}{2}$m，x₁•x₂=2，
故x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=$\frac{9}{4}{m}^{2}-4$=$\frac{9}{4}{m}^{2}-8+4$≥0；
（2）若函数F（x）=f（x）-g（x）有两个零点，
即方程x²+mx+2-（x+1）=x²+（m-1）x+1=0有两个不等的实根，
故△=（m-1）²-4＞0，解得：m＜-1，或m＞3．

点评 本题考查的知识点是函数零点与方程的根，转化思想，难度中档．