Question

已知

a

=（x²+1，p+2），

b

=（3，x）．
（I）当p=8时，若

a

⊥

b

，求x的值．
（II）若存在唯一的实数x，使

a

+

b

与

c

=（1，2）平行，试求p的值．

Answer 1

分析：（I）当p=8时，由

a

⊥

b

可得

a

•

b

=（x²+1，10）•（3，x）=3x²+3+10x=0，由此求得x的值．
（II）先求出

a

+

b

的坐标，再根据

a

+

b

与

c

=（1，2）平行得到 2x²-x+6-p=0，由判别式△=0求得x的值．

解答：解：（I）当p=8时，由

a

⊥

b

可得

a

•

b

=（x²+1，10）•（3，x）=3x²+3+10x=0，即 （3x+1）（x+3）=0
解得 x=-3，或 x=-

1

3

．
（II）∵

a

+

b

=（x²+4，p+2+x），

c

=（1，2），由

a

+

b

与

c

=（1，2）平行可得2（x²+4）=p+2+x，即 2x²-x+6-p=0．
由题意可得 判别式△=1-8（6-p）=0，解得 p=

47

8

．

点评：本题主要考查两个向量垂直、共线的性质，数量积公式的应用，属于中档题．