Question

3．如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁=BC₁=$\sqrt{2}$，BC=2，△ABC是以BC为底边的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，E、F分别为棱AB、CC₁的中点．
（1）求证：EF∥平面A₁BC₁；
（2）若AC²为整数，且EF与平面ACC₁A₁所成的角的正弦值为$\frac{\sqrt{2}}{3}$，求二面角C-AA₁-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取BC的中点O，连接AO，OE，OF，根据面面平行的性质定理先证明平面OEF∥平面A₁BC₁，即可证明EF∥平面A₁BC₁；
（2）建立空间坐标系，利用向量法即可分别求出平面ACC₁A₁的一个法向量和平面AA₁B的一个法向量，利用向量法能求出二面角C-AA₁-B的余弦值．

解答 证明：（1）取BC的中点O，连接AO，OE，OF，
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形，平面ABC⊥平面BCC₁B₁，
∴AO⊥BC，AO⊥平面BCC₁B₁，
∵E、F分别为棱AB、CC₁的中点，
∴OE∥AC∥A₁C₁；OF∥BC₁；
∵OE∩OF=O，
∴平面OEF∥平面A₁BC₁，
∵EF?平面平面OEF，EF?平面A₁BC₁，
∴EF∥平面A₁BC₁；
（2）以O为坐标原点，以OC、OC₁、OA为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设OA=b，
∴C（1，0，0），C₁（0，1，0），A（0，0，b），A₁（-1，1，b），
设平面ACC₁A₁的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）
∵$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{AC}$=（1，0，-b），
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{x-bz=0}\end{array}\right.$，令z=1，则$\overrightarrow{n}$=（b，b，1），
又$\overrightarrow{EF}$=（1，$\frac{1}{2}$，-$\frac{b}{2}$），EF与平面ACC₁A₁所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
∴$\frac{b}{\sqrt{2{b}^{2}+1}•\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{{b}^{2}}{4}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
解得b=1，或b=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
则AC²=OA²+OC²，
若b=1，则AC²=OA²+OC²=1+1=2为整数，满足条件．
若b=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，则AC²=OA²+OC²=1+$\frac{10}{4}$=$\frac{7}{2}$不是整数，不满足条件．
∴b=1
∴$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
同理可求得平面AA₁B的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（1，1，-1），
∴cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞=$\frac{1+1-1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$，
又二面角C-AA₁-B为锐二面角，故余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解，建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合考查学生的运算和推理能力．