分析 (1)取BC的中点O,连接AO,OE,OF,根据面面平行的性质定理先证明平面OEF∥平面A1BC1,即可证明EF∥平面A1BC1;
(2)建立空间坐标系,利用向量法即可分别求出平面ACC1A1的一个法向量和平面AA1B的一个法向量,利用向量法能求出二面角C-AA1-B的余弦值.
解答 证明:(1)取BC的中点O,连接AO,OE,OF,
∵△ABC是以BC为底边的等腰三角形,平面ABC⊥平面BCC1B1,
∴AO⊥BC,AO⊥平面BCC1B1,
∵E、F分别为棱AB、CC1的中点,
∴OE∥AC∥A1C1;OF∥BC1;
∵OE∩OF=O,
∴平面OEF∥平面A1BC1,
∵EF?平面平面OEF,EF?平面A1BC1,
∴EF∥平面A1BC1;
(2)以O为坐标原点,以OC、OC1、OA为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,
设OA=b,
∴C(1,0,0),C1(0,1,0),A(0,0,b),A1(-1,1,b),
设平面ACC1A1的一个法向量为$\overrightarrow{n}$=(x,y,z)
∵$\overrightarrow{C{C}_{1}}$=(-1,1,0),$\overrightarrow{AC}$=(1,0,-b),
∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+y=0}\\{x-bz=0}\end{array}\right.$,令z=1,则$\overrightarrow{n}$=(b,b,1),
又$\overrightarrow{EF}$=(1,$\frac{1}{2}$,-$\frac{b}{2}$),EF与平面ACC1A1所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$,
∴$\frac{b}{\sqrt{2{b}^{2}+1}•\sqrt{\frac{5}{4}+\frac{{b}^{2}}{4}}}$=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$,
解得b=1,或b=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,
则AC2=OA2+OC2,
若b=1,则AC2=OA2+OC2=1+1=2为整数,满足条件.
若b=$\frac{\sqrt{10}}{2}$,则AC2=OA2+OC2=1+$\frac{10}{4}$=$\frac{7}{2}$不是整数,不满足条件.
∴b=1
∴$\overrightarrow{n}$=(1,1,1).
同理可求得平面AA1B的一个法向量$\overrightarrow{m}$=(1,1,-1),
∴cos<$\overrightarrow{n}$,$\overrightarrow{m}$>=$\frac{1+1-1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$,
又二面角C-AA1-B为锐二面角,故余弦值为$\frac{1}{3}$.
点评 本题主要考查空间线面平行的判断以及二面角的求解,建立坐标系,求出平面的法向量,利用向量法是解决本题的关键.综合考查学生的运算和推理能力.
科目:高中数学 来源: 题型:选择题
A. | $\frac{1}{2π}+\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{1}{4π}+\frac{1}{6}$ | C. | $\frac{π}{12}+\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{1}{4}+\frac{1}{6π}$ |
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