【题目】如图,正方体的棱长为2,、分别为棱、上的点,且与顶点不重合.
(1)若直线与相交于点,求证:、、三点共线;
(2)若、分别为、的中点.
(ⅰ)求证:几何体为棱台;
(ⅱ)求棱台的体积.
(附:棱台的体积公式,其中、分别为棱台上下底面积,为棱台的高)
【答案】(1)证明见解析;(2)(ⅰ)证明见解析;(ⅱ)
【解析】
(1)由平面,平面,平面平面,根据点在两个不重合的面内,则点在两个面的公共线上即可证出.
(2)(ⅰ)连,、分别为棱、的中点,证出四边形为梯形,从而可得与相交,再由(1)可得直线、、交于一点,由平面平面,即可证出.
(ⅱ)求出,,以及棱台的高,代入棱台的体积公式即可求解.
证明:(1),
,,
平面,平面,
平面,平面,
即点为平面与平面的公共点.
又平面平面,
,即、、三点共线.
(2)(ⅰ)连,
、分别为棱、的中点,
为的中位线,
,,
,,
四边形为平行四边形.
,,
,,
四边形为梯形,
与相交.
由(1)知:直线、、交于一点,
又平面平面,
几何体为三棱台.
(ⅱ)由题意:,,,
,
即棱台的体积是.
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【题目】已知A,B,C分别为△ABC的三边a,b,c所对的角,向量=(sin A,sin B),=(cos B,cos A),且=sin 2C.
(1)求角C的大小;
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且,求边c的长.
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【题目】如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,所有棱长均相等,且AA1⊥平面ABC,点D、E、F分别为所在棱的中点.
(1)求证:EF∥平面CDB1;
(2)求异面直线EF与BC所成角的余弦值;
(3)求二面角B1﹣CD﹣B的余弦值.
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【题目】(2017·衢州调研)已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,∠ADC=120°,AD的中点M是顶点P在底面ABCD的射影,N是PC的中点.
(1)求证:平面MPB⊥平面PBC;
(2)若MP=MC,求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.
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