Question

【题目】已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同． （Ⅰ）求m﹣n；
（Ⅱ）若a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n，求a+b+c的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）当2x﹣3≥0，即x≥ 时，不等式|2x﹣3|＜x可化为2x﹣3＜x，

解得x＜3，∴ ≤x＜3；

当2x﹣3＜0，即x＜ 时，不等式|2x﹣3|＜x可化为3﹣2x＜x，

解得x＞1，∴1＜x＜ ；

综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；

∴不等式x2﹣mx+n＜0的解集为{x|1＜x＜3}，

∴方程x2﹣mx+n=0的两实数根为1和3，

∴ ，

∴m﹣n=4﹣3=1；

（Ⅱ）a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=m﹣n=1，

∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ca）

≥ （2ab+2bc+2ac）+2（ab+bc+ac）

=3（ab+bc+ca）=3；

∴a+b+c的最小值是 ．

【解析】（Ⅰ）讨论2x﹣3≥0或2x﹣3＜0，求出不等式|2x﹣3|＜x的解集，得出不等式x2﹣mx+n＜0的解集，利用根与系数的关系求出m、n的值；

（Ⅱ）根据a、b、c∈（0，1），且ab+bc+ac=1，求出（a+b+c）2的最小值，即可得出a+b+c的最小值．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用解一元二次不等式的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握求一元二次不等式解集的步骤：一化：化二次项前的系数为正数;二判：判断对应方程的根;三求：求对应方程的根;四画：画出对应函数的图象;五解集：根据图象写出不等式的解集;规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边．