Question

如图，已知圆O：x²+y²=1，O为坐标原点．
（1）边长为

2

的正方形ABCD的顶点A、B均在圆O上，C、D在圆O外，当点A在圆O上运动时，C点的轨迹为E．
①求轨迹E的方程；
②过轨迹E上一定点P（x₀，y₀）作相互垂直的两条直线l₁，l₂，并且使它们分别与圆O、轨迹E相交，设l₁被圆O截得的弦长为a，设l₂被轨迹E截得的弦长为b，求a+b的最大值．
（2）正方形ABCD的一边AB为圆O的一条弦，求线段OC长度的最值．

Answer 1

分析：（1）①由题意知OA²+OB²=AB²，∠OBA=

π

4

，∠OBC=

3π

4

，在△OBC中，OC²=OB²+BC²-2OB•BC=5．由此可知轨迹E的方程；②设点O到直线l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂，因为l₁⊥l₂，所以d₁²+d₂²=OP²=x₀²+y₀²=5，由此可知(a+b)2=4[6-(d12≤4[6-(d12+d22)+2•

6-d12-d22

2

]=4[12-2（d₁²+d₂²）]=4（12-10）=8，即a+b的最大值．
（2）设正方形边长为a，∠OBA=θ，则cosθ=

a

2

，θ∈[0，

π

2

)．当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在△OBC中，a2+1-2acos(

π

2

+θ)=OC2，由2θ+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

)，此时OC∈(1，

2

+1]；当A、B、C、D按逆时针方向时，在△OBC中，a2+1-2acos(

π

2

-θ)=OC2，OC∈[

2

-1，

5

)．由此可知，线段OC长度的最小值为

2

-1，最大值为

2

+1．

解答：解：（1）①如图连接OB，OA，因为OA=OB=1，AB=

2

，所以OA²+OB²=AB²，
所以∠OBA=

π

4

，所以∠OBC=

3π

4

，在△OBC中，OC²=OB²+BC²-2OB•BC=5，（2分）
所以轨迹E是以O为圆心，

5

为半径的圆，
所以轨迹E的方程为x²+y²=5；（3分）
②设点O到直线l₁，l₂的距离分别为d₁，d₂，
因为l₁⊥l₂，所以d₁²+d₂²=OP²=x₀²+y₀²=5，（5分）
则a+b=2

1-d12

+2

5-d22

，
则(a+b)2=4[6-(d12
≤4[6-(d12+d22)+2•

6-d12-d22

2

]=4[12-2（d₁²+d₂²）]=4（12-10）=8，（8分）
当且仅当

d12+d22=5 1-d12=5-d22

，即

d22= 9 2 d12= 1 2

时取“=”，
所以a+b的最大值为2

2

；（9分）
（2）设正方形边长为a，∠OBA=θ，则cosθ=

a

2

，θ∈[0，

π

2

)．
当A、B、C、D按顺时针方向时，如图所示，在△OBC中，a2+1-2acos(

π

2

+θ)=OC2，
即OC=

(2cosθ)2+1+2•2cosθ•sinθ

=

4cos2θ+1+2sin2θ

=

2cos2θ+2sin2θ+3

=

2 2 sin(2θ+ π 4 )+3

，
由2θ+

π

4

∈[

π

4

，

5π

4

)，此时OC∈(1，

2

+1]；（12分）
当A、B、C、D按逆时针方向时，在△OBC中，a2+1-2acos(

π

2

-θ)=OC2，
即OC=

(2cosθ)2+1-2•2cosθ•sinθ

=

4cos2θ+1-2sin2θ

=

2cos2θ-2sin2θ+3

=

-2 2 sin(2θ- π 4 )+3

，
由2θ-

π

4

∈[-

π

4

，

3π

4

)，此时OC∈[

2

-1，

5

)，（15分）
综上所述，线段OC长度的最小值为

2

-1，最大值为

2

+1．（16分）

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要注意数形结合．