Question

（2013•延庆县一模）已知动点P（x，y）与一定点F（1，0）的距离和它到一定直线l：x=4的距离之比为

1

2

．
（Ⅰ） 求动点P（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）已知直线l'：x=my+1交轨迹C于A、B两点，过点A、B分别作直线l：x=4的垂线，垂足依次为点D、E．连接AE、BD，试探索当m变化时，直线AE、BD是否相交于一定点N？若交于定点N，请求出N点的坐标，并给予证明；否则说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接利用求轨迹方程的步骤，由题意列出满足动点P（x，y）到定点F（1，0）的距离和它到一定直线l：x=4的距离之比为

1

2

的等式，整理后即可得到点P的轨迹；
（Ⅱ）如果存在满足条件的定点N，则该点对于m=0的直线也成立，所以先取m=0，与椭圆联立后解出A、B的坐标，同时求出D、E的坐标，由两点式写出AE、BD所在的直线方程，两直线联立求出N的坐标，然后证明该点对于m取其它值时也满足直线AE、BD是相交于定点N，方法是用共线向量基本定理．

解答：解：（Ⅰ）由题意得

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，
即2

(x-1)2+y2

=|x-4|，
两边平方得：4x²-8x+4+4y²=x²-8x+16．
得 

x2

4

+

y2

3

=1．
所以动点P（x，y）的轨迹C的方程为椭圆

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）当m变化时，直线AE、BD相交于一定点N(

5

2

，0)．
证明：如图，

当m=0时，联立直线x=1与椭圆 

x2

4

+

y2

3

=1，
得A(1，

3

2

)、B(1，-

3

2

)，
过A、B作直线x=4的垂线，得两垂足D(4，

3

2

)、E(4，-

3

2

)．
由直线方程的两点式得：直线AE的方程为：2x+2y-5=0，直线BD的方程为：2x-2y-5=0，
方程联立解得x=

5

2

，y=0，所以直线AE、BD相交于一点(

5

2

，0)．
假设直线AE、BD相交于一定点N(

5

2

，0)．
证明：设A（my₁+1，y₁），B（my₂+1，y₂），则D（4，y₁），E（4，y₂），
由

x=my+1 x2 4 + y2 3 =1

消去x并整理得（3m²+4）y²+6my-9=0，
△=36m²-4×（3m²+4）×（-9）=144m²+144＞0＞0，
由韦达定理得y1+y2=

-6m

3m2+4

，y1y2=

-9

3m2+4

．
因为

NA

=(my1-

3

2

，y1)，

NE

=(

3

2

，y2)，
所以(my1-

3

2

)×y2-y1×

3

2

=my1y2-

3

2

(y1+y2)=

-9m

3m2+4

-

3

2

×

-6m

3m2+4

=0
所以，

NA

∥

NE

，所以A、N、E三点共线，
同理可证B、N、D三点共线，所以直线AE、BD相交于一定点N(

5

2

，0)．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线与椭圆的综合，对于定点的存在性问题，先找出满足条件的特殊点，然后对其它情况进行证明是该类问题常用的方法．该题属有一定难度题目．