Question

已知椭圆C的对称轴为坐标轴，一个焦点为F(0，-

2

)，点M(1，

2

)在椭圆C上
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程
（Ⅱ）已知直线l：2x-y-2=0与椭圆C交于A，B两点，求△MAB的面积
（Ⅲ）设P为椭圆C上一点，若∠PMF=90°，求P点的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）椭圆C的对称轴为坐标轴，一个焦点为F(0，-

2

)，故可设椭圆C的方程为

y2

a2

+

x2

a2-2

=1，再将点M的坐标代入即可的a²的值，最后写出标准方程即可
（Ⅱ）先将直线l与椭圆C的方程联立，解得A、B两点的坐标，从而求出|AB|，再利用点到直线的距离公式，计算M到直线AB的距离d，最后由三角形面积公式S△MAB=

1

2

|AB|•d计算△MAB的面积即可
（Ⅲ）先由∠PMF=90°得直线PM的斜率，从而写出直线PM的方程，再代入椭圆的方程，即可解得P点的坐标，注意此直线与椭圆有两个交点M，P

解答：解：（Ⅰ）∵椭圆C的对称轴为坐标轴，一个焦点为F(0，-

2

)，
可设椭圆C的方程为

y2

a2

+

x2

a2-2

=1
将点M(1，

2

)代入方程得

2

a2

+

1

a2-2

=1
解得a²=4或a²=1（舍去）
∴椭圆C的标准方程为

y2

4

+

x2

2

=1
（Ⅱ）联立直线l与椭圆C的方程

2x-y-2=0 y2 4 + x2 2 =1

解得

x1=0 y1=-2

，

x2= 4 3 y2= 2 3

即A（0，-2），B（

4

3

，

2

3

）
∴|AB|=

( 4 3 -0)2+( 2 3 +2)2

=

4 5

3

点M(1，

2

)到直线l的距离d=

|2- 2 -2|

4+1

=

10

5

∴S△MAB=

1

2

|AB|•d=

1

2

×  

4 5

3

× 

10

5

=

2 2

3

（Ⅲ）设直线FM的斜率为k，则k=

2 -(- 2 )

1-0

=2

2

∵直线PM垂直于直线FM
∵直线PM的斜率为-

1

k

=-

2

4

故直线PM的方程为y=-

2

4

（x-5）
代入椭圆方程得17x²-10x-7=0，解得x=1或x=-

7

17

∴点P的坐标为（-

7

17

，

23 2

17

）

点评：本题考察了椭圆的标准方程及其求法，直线与椭圆的位置关系，特别是直线与椭圆相交时如何求弦长和三角形面积．