Question

8．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且满足a₁=1，S_n+1=4S_n+1．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：$\sqrt{{a_1}-1}+\sqrt{{a_2}-1}+…+\sqrt{{a_n}-1}$＜2ⁿ-1．

Answer 1

分析 （1）由S_n+1=4S_n+1，S_n=4S_n-1+1，n≥2时，可得：a_n+1=4a_n，又可得a₂=4a₁．因此利用等比数列的通项公式即可得出．
（2）利用$\sqrt{{a_n}-1}=\sqrt{{4^{n-1}}-1}＜\sqrt{{4^{n-1}}}={2^{n-1}}$．再利用等比数列的求和公式即可得出．

解答 （1）解：由S_n+1=4S_n+1，S_n=4S_n-1+1，n≥2时，可得：a_n+1=4a_n，
又a₁=1，a₂+a₁=4a₁+1，可得a₂=4，∴a₂=4a₁．
∴对于n∈N^*，a_n+1=4a_n，因此数列{a_n}是等比数列，首项为1，公比为4．
∴a_n=4^n-1．
（2）证明：∵$\sqrt{{a_n}-1}=\sqrt{{4^{n-1}}-1}＜\sqrt{{4^{n-1}}}={2^{n-1}}$．
∴$\sqrt{{a_1}-1}+\sqrt{{a_2}-1}+…+\sqrt{{a_n}-1}$＜1+2+2²+…+2^n-1=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$=2ⁿ-1．
因此$\sqrt{{a_1}-1}+\sqrt{{a_2}-1}+…+\sqrt{{a_n}-1}$＜2ⁿ-1．

点评 本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．