Question

在数列{a_n}中，a₁=2，an+1=an+ln(1+

1

n

)，则a_n=

 

．

Answer 1

分析：由n=1，2，3，分别求出a₁，a₂，a₃，a₄，总结规律，猜想出a_n．

解答：解：a₁=2+ln1，
a₂=2+ln2，
a3=2+ln2+ln

3

2

=2+ln3，
a4=2+ln3+ln

4

3

=2+ln4，
由此猜想a_n=2+lnn．
用数学归纳法证明：
①当n=1时，a₁=2+ln1，成立．
②假设当n=k时等式成立，即a_k=2+lnk，
则当n=k+1时，ak+1=ak+ln(1+

1

k

)=2+lnk+

k+1

k

=2+ln(k+1)．成立．
由①②知，a_n=2+lnn．
故答案为：2+lnn．

点评：本题考查数列的递推式，解题时要注意总结规律合理地进行猜想．