Question

【题目】已知函数（）．

　　（1）若函数是单调函数，求的取值范围；

（2）求证：当时，都有．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）见解析．

【解析】试题分析：（1）对函数求导，由函数是单调函数可得或在上恒成立，利用分离参数的方法，当时， ；当时， ，分别求右端的最值或极限值即可；（2）由（1）可知，当时， 在上递减，根据单调性化简可得成立，利用分析法将所证命题转化为，构造函数，求出即可.

试题解析：（1）函数的定义域为，∵，∴，

∵函数是单调函数，∴或在上恒成立，

①∵，∴，即， ，

令，则，当时， ；当时， ．

则在上递减， 上递增，∴，∴；

②∵，∴，即， ，

由①得在上递减， 上递增，又， 时，∴；综上①②可知， 或；

（2）由（1）可知，当时， 在上递减，∵，

∴，即，∴，

要证，只需证，即证，

令， ，则证，令，则，

∴在上递减，又，∴，即，得证．