【题目】已知函数, (为常数).
(Ⅰ)求函数在点处的切线方程;
(Ⅱ)当函数在处取得极值,求函数的解析式;
(Ⅲ)当时,设,若函数在定义域上存在单调减区间,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)g(x)= (x∈R) ;(3) ,).
【解析】试题分析:(1)求出函数的导数,求得切线的斜率和切点,运用点斜式方程即可得到切线方程;
(2)求得的导数,根据题意可得, ,解方程即可得到所求解析式;
(3)若函数在定义域上存在单调减区间依题存在使, 即存在使,运用参数分离,求得右边的最小值,即可得到所求范围.
试题解析:(Ⅰ)由 (),可得 (),∴f(x)在点(1,f(1))处的切线方程是,即,所求切线方程为;
(Ⅱ)∵又g(x)= 可得,且g(x)在x=2处取得极值-2.
∴,可得解得,.所求g(x)= (x∈R) .
(3)∵, ().
依题存在使,∴即存在使,
∵不等式等价于 (min)
由基本不等式知,,)
∵存在,不等式(*)成立,∴.所求,)
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【题目】设点,动圆经过点且和直线相切,记动圆的圆心的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程;
(2)设曲线上一点的横坐标为,过的直线交于一点,交轴于点,过点作的垂线交于另一点,若是的切线,求的最小值.
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【题目】如图,四棱锥中, 底面,底面是直角梯形, , , , ,点在上,且.
(Ⅰ)已知点在上,且,求证:平面平面;
(Ⅱ)当二面角的余弦值为多少时,直线与平面所成的角为?
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【题目】根据国家环保部最新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米。某城市环保部分随机抽取的一居民区过去20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:
组别 | PM2.5平均浓度 | 频数 | 频率 |
第一组 | (0,25] | 3 | 0.15 |
第二组 | (25,50] | 12 | 0.6 |
第三组 | (50,75] | 3 | 0.15 |
第四组 | (75,100] | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(II)求样本平均数,并根据样本估计总计的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?并说明理由.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,以原点为极点, 轴正半轴为极轴建立坐标系,直线的极坐标方程为,曲线的参数方程为,( 为参数).
(Ⅰ)求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程;
(Ⅱ)曲线交轴于两点,且点, 为直线上的动点,求周长的最小值.
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【题目】某工厂某种产品的年固定成本为250万元,每生产千件,需另投入成本为,当年产量不足80千件时, (万元).当年产量不小于80千件时, (万元).每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.
(Ⅰ)写出年利润(万元)关于年产量(千件)的函数解析式;
(Ⅱ)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?
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【题目】某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共个,生产一个卫兵需分钟,生产一个骑兵需分钟,生产一个伞兵需分钟,已知总生产时间不超过小时,若生产一个卫兵可获利润元,生产一个骑兵可获利润元,生产一个伞兵可获利润元.
(1)用每天生产的卫兵个数与骑兵个数表示每天的利润(元);
(2)怎么分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?
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【题目】我市两所高中分别组织部分学生参加了“七五普法网络知识大赛”,现从这两所学校的参赛学生中分别随机抽取30名学生的成绩(百分制)作为样本,得到样本数据的茎叶图如图所示.
(Ⅰ)若乙校每位学生被抽取的概率为0.15,求乙校参赛学生总人数;
(Ⅱ)根据茎叶图,从平均水平与波动情况两个方面分析甲、乙两校参赛学生成绩(不要求计算);
(Ⅲ)从样本成绩低于60分的学生中随机抽取3人,求3人不在同一学校的概率.
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