Question

【题目】设等差数列{an}的前n项和为Sn ， 且S5=a5+a6=25．
（1）求{an}的通项公式；
（2）若不等式2Sn+8n+27＞（﹣1）nk（an+4）对所有的正整数n都成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn，且S5=a5+a6=25，

∴ ，

解得a1=﹣1，d=3，

∴{an}的通项公式an=﹣1+（n﹣1）×3=3n﹣4．

（2）解：∵a1=﹣1，d=3，

∴ = ．

∵不等式2Sn+8n+27＞（﹣1）nk（an+4）对所有的正整数n都成立，

∴3n2+3n+27＞（﹣1）nk3n，

∴（﹣1）nk＜n+ +1对所有的正整数n都成立，

当n为偶数时，k＜n+ +1，

设F（n）=n+ +1，

F（n）min=F（4）=4+ = ．

∴k＜ ．

当n为奇数时，﹣k＜n+ +1，k＞﹣（n+ +1），

﹣（n+ +1）≤﹣2 ﹣1=﹣7，

当且仅当n= ，即n=3时，取等号，

∴实数k的取值范围是（﹣7， ）．

【解析】（1）利用等差数列通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{an}的通项公式．（2）求出Sn，从而3n2+3n+27＞（﹣1）nk3n，由此能求出实数k的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解数列的前n项和的相关知识，掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系，以及对数列的通项公式的理解，了解如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式．