【题目】在△ABC中,内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知 =2,cosB= ,b=3,求:
(Ⅰ)a和c的值;
(Ⅱ)cos(B﹣C)的值.
【答案】解:(Ⅰ)∵ =2,cosB= ,∴cacosB=2,即ac=6①,
∵b=3,
∴由余弦定理得:b2=a2+c2﹣2accosB,即9=a2+c2﹣4,
∴a2+c2=13②,
联立①②得:a=3,c=2;
(Ⅱ)在△ABC中,sinB= = = ,
由正弦定理 = 得:sinC= sinB= × = ,
∵a=b>c,∴C为锐角,
∴cosC= = = ,
则cos(B﹣C)=cosBcosC+sinBsinC= × + × =
【解析】(Ⅰ)利用平面向量的数量积运算法则化简 =2,将cosB的值代入求出ac=6,再利用余弦定理列出关系式,将b,cosB以及ac的值代入得到a2+c2=13,联立即可求出ac的值;(Ⅱ)由cosB的值,利用同角三角函数间基本关系求出sinB的值,由c,b,sinB,利用正弦定理求出sinC的值,进而求出cosC的值,原式利用两角和与差的余弦函数公式化简后,将各自的值代入计算即可求出值.
【考点精析】认真审题,首先需要了解两角和与差的余弦公式(两角和与差的余弦公式:),还要掌握余弦定理的定义(余弦定理:;;)的相关知识才是答题的关键.
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【题目】已知方程x2+ax+b=0.
(1)若方程的解集只有一个元素,求实数a,b满足的关系式;
(2)若方程的解集有两个元素分别为1,3,求实数a,b的值.
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【题目】从双曲线 =1(a>0,b>0)的左焦点F引圆x2+y2=a2的切线,切点为T,延长FT交双曲线右支于点P,若M为线段FP的中点,O为坐标原点,则|MO|﹣|MT|与b﹣a的大小关系为( )
A.|MO|﹣|MT|>b﹣a
B.|MO|﹣|MT|=b﹣a
C.|MP|﹣|MT|<b﹣a
D.不确定
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【题目】函数f(x)的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x∈R,有f(x)>0;②对任意x,y∈R,有f(xy)=[f(x)]y;③ .
(1)求证:f(x)在R上是单调增函数;
(2)若f(4x+a2x+1﹣a2+2)≥1对任意x∈R恒成立,求实数a的取值范围.
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【题目】经过长期观测得到:在交通繁忙的时段内,某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度υ(千米/小时)之间的函数关系为:y= (υ>0).
(1)在该时段内,当汽车的平均速度υ为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?(保留分数形式)
(2)若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时,则汽车的平均速度应在什么范围内?
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【题目】已知四棱锥P﹣ABCD,底面ABCD是∠A=60°、边长为a的菱形,又PD⊥底ABCD,且PD=CD,点M、N分别是棱AD、PC的中点.
(1)证明:DN∥平面PMB;
(2)证明:平面PMB⊥平面PAD;
(3)求点A到平面PMB的距离.
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【题目】已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则y=f(x)的图象可由y=cos2x图象( )
A.向右平移 个长度单位
B.向左平移 个长度单位
C.向右平移 个长度单位
D.向左平移 个长度单位
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【题目】如图,在多面体ABCDE中,AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,AD=AC,AB= DE,F是CD的中点.
(1)求证:AF∥平面BCE;
(2)求证:平面BCE⊥平面CDE.
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【题目】已知指数函数y=g(x)满足:g(3)=8,定义域为R的函数f(x)= 是奇函数.
(1)确定y=g(x),y=f(x)的解析式;
(2)若h(x)=f(x)+a在(﹣1,1)上有零点,求a的取值范围;
(3)若对任意的t∈(﹣4,4),不等式f(6t﹣3)+f(t2﹣k)<0恒成立,求实数k的取值范围.
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