Question

【题目】如图，三棱锥P﹣ABC中，PC⊥平面ABC，PC=3，∠ACB= ．D，E分别为线段AB，BC上的点，且CD=DE= ，CE=2EB=2

（1）证明：DE⊥平面PCD
（2）求二面角B﹣PD﹣C的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：由PC⊥平面ABC，DE平面ABC，故PC⊥DE，

由CE=2，CD=DE= ，得△CDE为等腰直角三角形，故CD⊥DE，

由PC∩CD=C，DE垂直于平面PCD内两条相交直线，

故DE⊥平面PCD．

（2）解：以C为坐标原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则C（0，0，0，），P（0，0，3），B（0，3，0），E（0，2，0），D（1，1，0），

=（﹣1，1，0）， =（﹣1，﹣1，3）， =（﹣1，2，0），

设平面PAD的法向量 =（x1，y1，z1），

则 ，取x=2，得 =（2，1，1），

由（1）知DE⊥平面PCD，故 =（﹣1，1，0）是平面PCD的法向量，

从而法向量 ， 的夹角的余弦值为cos＜ ， ＞= =﹣ ，

故所求二面角B﹣PD﹣C的余弦值为﹣ ．

【解析】（1）由PC⊥平面ABC，得PC⊥DE，CD⊥DE，由此能证明DE⊥平面PCD．（2）以C为坐标原点，分别以 的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B﹣PD﹣C的余弦值．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用直线与平面垂直的判定的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想．