【题目】如图所示,已知直线l过点P(3,2),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,求△AOB面积最小时l的方程.
【答案】
【解析】
假设直线与坐标轴交点,设直线的截距式,将点P代入直线方程,求出a、b关系,根据三角形面积的公式,用a表示三角形面积,整理为关于a的二次方程,令,求得三角形面积的最小值,然后求出参数值,即可得出直线方程.
设A(a,0),B(0,b),显然a>3,b>2,
则直线l的方程为+=1,
因为P(3,2)在直线l上,所以+=1,于是b=,
所以S△AOB=ab=,整理得a2-S△AOB·a+3S△AOB=0(*).
因为此方程有解,所以Δ=S-12S△AOB≥0,
又因为S△AOB>0,所以S△AOB≥12,S△AOB最小值=12.
将S△AOB=12代入(*)式,得a2-12a+36=0,解得a=6,b=4.
此时直线l的方程为+=1,即2x+3y-12=0.
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【题目】已知是抛物线: ()上一点, 是抛物线的焦点, 且.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知 ,过 的直线 交抛物线 于 、 两点,以 为圆心的圆 与直线 相切,试判断圆 与直线 的位置关系,并证明你的结论.
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【题目】某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间,需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
最高 气温 | [10, 15) | [15, 20) | [20, 25) | [25, 30) | [30, 35) | [35, 40) |
天数 | 2 | 16 | 36 | 25 | 7 | 4 |
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位:瓶)的分布列.
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶)为多少时,Y的数学期望达到最大值?
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【题目】根据某电子商务平台的调查统计显示,参与调查的1000位上网购物者的年龄情况如图显示.
(1)已知[30,40)、[40,50)、[50,60)三个年龄段的上网购物者人数成等差数列,求a,b的值.
(2)该电子商务平台将年龄在[30,50)之间的人群定义为高消费人群,其他的年龄段定义为潜在消费人群,为了鼓励潜在消费人群的消费,该平台决定发放代金券,高消费人群每人发放50元的代金券,潜在消费人群每人发放100元的代金券,现采用分层抽样的方式从参与调查的1000位上网购者中抽取10人,并在这10人中随机抽取3人进行回访,求此三人获得代金券总和X的分布列与数学期望.
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【题目】如图,长方体ABCD﹣A′B′C′D′中,AB=2 ,AD=2 ,AA′=2,
(Ⅰ)求异面直线BC′ 和AD所成的角;
(Ⅱ)求证:直线BC′∥平面ADD′A′.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面ABCD是菱 形,PA=PB,且侧面PAB⊥平面ABCD,点E是AB的中点.
(1)求证:PE⊥AD;
(2)若CA=CB,求证:平面PEC⊥平面PAB.
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【题目】我国古代数学家祖暅提出原理:“幂势既同,则积不容异”.其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高.原理的意思是:夹在两个平行平面间的两个几何体,被任一平行于这两个平行平面的平面所截,若所截的两个截面的面积恒相等,则这两个几何体的体积相等.如图所示,在空间直角坐标系的坐标平面内,若函数的图象与轴围成一个封闭区域,将区域沿轴的正方向上移4个单位,得到几何体如图一.现有一个与之等高的圆柱如图二,其底面积与区域面积相等,则此圆柱的体积为__________.
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【题目】已知圆过点,且与圆关于直线对称.
(1)求两圆的方程;
(2)若直线与直线平行,且截距为7,在上取一横坐标为的点,过点作圆的切线,切点为,设中点为.
(ⅰ)若,求的值;
(ⅱ)是否存在点,使得?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】我校对高二600名学生进行了一次知识测试,并从中抽取了部分学生的成绩(满分100分)作为样本,绘制了下面尚未完成的频率分布表和频率分布直方图.
(1)填写频率分布表中的空格,补全频率分布直方图,并标出每个小矩形对应的纵轴数据;
分组 | 频数 | 频率 |
[50,60) | 2 | 0.04 |
[60,70) | 8 | 0.16 |
[70,80) | 10 | |
[80,90) | ||
[90,100] | 14 | 0.28 |
合计 | 1.00 |
如果用分层抽样的方法从样本分数在[60,70)和[80,90)的人中共抽取6人,再从6人中选2人,求2人分数都在[80,90)的概率.
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