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12.已知直角梯形ABCD如图1所示,CD=2,AB=4,AD=2,线段AB上有一点P,过点P作AB的垂线交l,当点P从点A运动到点B时,记AP=x,l截直角梯形的左边部分面积为S(x),
(1)试写出S(x)关于x的函数,并在图2中画出函数图象.
(2)当点P位于何处时,S(x)为直角梯形ABCD面积的$\frac{3}{4}$?

分析 (1)可看出当l在过C前和过C后面积S(x)的求法不同,从而分0≤x≤2和2<x≤4两种情况求面积S(x)=$\left\{\begin{array}{l}{2x}&{0≤x≤2}\\{-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+6}&{2<x≤4}\end{array}\right.$,然后根据S(x)的解析式画出图象即可;
(2)容易求出直角梯形ABCD的面积,从而得出S(x)=$\frac{9}{2}$,从而可以判断出2<x<4,从而解方程$-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+6=\frac{9}{2}$便可求出x,从而得出点P的位置.

解答 解:(1)0≤x≤4;
①当0≤x≤2时,S(x)=2x;
②当2<x≤4时,$S(x)=4+\frac{(4-x+2)(x-2)}{2}=-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+6$;
∴$S(x)=\left\{\begin{array}{l}{2x}&{0≤x≤2}\\{-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+6}&{2<x≤4}\end{array}\right.$;
S(x)的图象如下:

(2)直角梯形ABCD的面积为:$\frac{(2+4)•2}{2}=6$;
∴$S(x)=6×\frac{3}{4}=\frac{9}{2}$;
∴S(x)>S(2)=4;
∴2<x<4,令$-\frac{1}{2}(x-4)^{2}+6=\frac{9}{2}$得:$x=4-\sqrt{3}$,或x=4+$\sqrt{3}$(舍去);
即P距离A4-$\sqrt{3}$处.

点评 考查矩形、梯形的面积公式,一次函数图象和二次函数图象的画法,分段函数图象的画法,对于分段函数已知函数值求自变量值时,需判断自变量在哪一段上.

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