Question

已知等腰三角形的底角的正弦值等于

4

5

，求这个三角形的顶角的正弦、余弦和正切值．

Answer 1

考点：同角三角函数基本关系的运用,运用诱导公式化简求值

专题：三角函数的求值

分析：如图所示，由AD为BC边上的高，利用三线合一得到BD=CD，在直角三角形ABD中，利用锐角三角函数定义表示出sinB，设AD=4k，则有AB=5k，利用勾股定理表示出BD，利用锐角三角函数定义求出cos∠BAD与sin∠BAD的值，利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出顶角的正弦、余弦和正切值即可．

解答： 解：如图所示，AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，∠BAD=∠CAD=

1

2

∠BAC，
∵sinB=

AD

AB

=

4

5

，∴设AD=4k，则有AB=5k，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：BD=

AB2-AD2

=3k，
∴cos∠BAD=

AD

AB

=

4

5

，sin∠BAD=

BD

AB

=

3

5

，
∴cos∠BAC=cos2∠BAD=

16

25

-

9

25

=

7

25

，sin∠BAC=2sin∠BADcos∠BAD=

24

25

，tan∠BAC=

24

7

．

点评：此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键．