Question

23、假设A型进口车关税税率在2002年是100%，在2007年是25%，2002年A型进口车每辆价格为64万元（其中含32万元关税税款）．
（1）已知与A型车性能相近的B型国产车，2002年每辆价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2007年B型车的价格不高于A型车价格的90%，B型车价格要逐年降低，问平均每年至少下降多少万元？
（2）某人在2002年将33万元存入银行，假设银行扣利息税后的年利率为1.8%（5年内不变），且每年按复利计算（上一年的利息计入第二年的本金），那么5年到期时这笔钱连本带息是否一定够买按（1）中所述降价后的B型车一辆？

Answer 1

分析：（1）根据题意知，B型车价格构成一个等差数列：a₁，a₂，…，a₆，其第六项a₆≤40×90%由此解得公差的取值范围即可；
（2）由（1）得：2007年到期时共有钱：33×（1+1.8%）⁵，再利用二项式定理展开计算即可得，5年到期后这笔钱够买一辆什么型的车．

解答：解：（1）2007年A型车价为32+32×25%=40（万元）
设B型车每年下降d万元，2002，20032007年B型车价格为：（公差为-d）
a₁，a₂，…，a₆，∴a₆≤40×90%∴46-5d≤36 d≥2
故每年至少下降2万元
（2）2007年到期时共有钱
33×（1+1.8%）⁵＞33（1+0.09+0.00324+…）=36.07692＞36（万元）
故5年到期后这笔钱够买一辆降价后的B型车．

点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用、等差数列、二项式定理的应用等，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．