Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*，都有a_n＞0且，令．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）使乘积b₁•b₂…b_k为整数的k（k∈N^*）叫“龙数”，求区间[1，2012]内的所有“龙数”之和；
（3）判断b_n与b_n+1的大小关系，并说明理由．

Answer 1

解：（1）∵=，
当n=1时，，即，
解得a₁=2，或a₁=-1，
∵a_n＞0，∴a₁=2．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=，
化简，得，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴{a_n}是首项为2，公差为1的等差数列，
∴a_n=2+（n-1）=n+1．
（2）∵=，
∴b₁•b₂…b_k===log₂（k+2），
令log₂（k+2）=m，则k=2^m-2，m∈Z，
由1≤2^m-2≤2012，得3≤2^m≤2014，
∴m=2，3，4，5，…，10．
∴在区间[1，2012]内，k的值为2²-2，2³-2，…，2¹⁰-2，
其和为：（2²-2）+（2³-2）+…+（2¹⁰-2）
=（2²+2³+…+2¹⁰）-2×9
=-18=2026．
（3）∵＞，
∴
=
＜
=
＜=1，
∴b_n＞b_n+1．
分析：（1）=，当n=1时，，即，解得a₁=2，或a₁=-1，由a_n＞0，知a₁=2．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=，化简，得（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由a_n＞0，知a_n-a_n-1=1，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由=，知b₁•b₂…b_k===log₂（k+2），令log₂（k+2）=m，则k=2^m-2，m∈Z，由1≤2^m-2≤2012，得3≤2^m≤2014，故m=2，3，4，5，…，10．由此能求出区间[1，2012]内的所有“龙数”之和．
（3）由＞，知=＜＜1，故b_n＞b_n+1．
点评：本题考查数列、不等式知识，考查化归与转化、分类与整合的数学思想，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．