Question

设等比数列z₁，z₂，z₃，…，z_n，其中z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai（a，b∈R，a＞0）．
（1）求a，b的值．（2）求使z₁+z₂+…+z_n=0的最小正整数n的值．（参考数据：）

Answer 1

【答案】分析：（1）先根据等比数列的性质得到z₂²=z₁•z₃，然后将z₁=1，z₂=a+bi，z₃=b+ai代入整理，得到a，b的值．
（2）根据（1）中，然后表示出数列的前n项和使其等于0进行求解即可．
解答：解：（1）由z₂²=z₁•z₃，得（a+bi）²=1×（b+ai），a²-b²+2abi=b+ai，
∴，又a＞0，得，于是．
∴，．
（2）由（1）得，而z₁+z₂+…+z_n=0，
∴q==
=0∴∴
又，且（-i）⁴=1，∴n_min=12．
点评：本题主要考查等比数列的基本性质．考查运算能力、综合解题能力．