Question

对n∈N^*，不等式所表示的平面区域为D_n，把D_n内的整点（横坐标与纵坐标均为整数的点）按其到原点的距离从近到远排成点列：（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），…，（x_n，y_n）．
（1）求x_n，y_n；
（2）数列{a_n}满足a₁=x₁且n≥2时，，求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）设c₁=1，当n≥2时，，且数列{c_n}的前n项和T_n，求T₉₉．

Answer 1

【答案】分析：（1）画出可行域，结合图形写出x_n，y_n
（2）利用等比数列的前n项和公式求出a_n；利用错位相减法和等差数列的前n项和公式求出S_n
（3）先化简C_n，再利用裂项相消法求出T₉₉
解答：解：（1）的可行域为
如图示，x_n=1，y_n=n
（2）由题意可知：a₁=1，a_n=
故
记，则

两式相减得：

故
故数列{a_n}的前n项的和为：
（3）当n≥2时，
=
==lg（n+1）-lgn
T₉₉=1+（lg3-lg2）+（lg4-lg3）+（lg5-lg3）++（lg100-lg99）
=1+2-lg2
=3-lg2．
点评：本题考查画不等式组表示的平面区域；数列求和的方法：错位相减法、公式法、裂项相消法．