Question

已知直线l的参数方程是

x= 2 2 t y= 2 2 t+4 2

（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+

π

4

）．
（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；
（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．

Answer 1

分析：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ²=x²+y²，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．
（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．

解答：解：（I）∵ρ=

2

cosθ-

2

sinθ，∴ρ2=

2

ρcosθ-

2

ρsinθ，
∴圆C的直角坐标方程为x2+y2-

2

x+

2

y=0，
即(x-

2

2

)2+(y+

2

2

)2=1，∴圆心直角坐标为(

2

2

，-

2

2

)．（5分）
（II）∵直线l的普通方程为x-y+4

2

=0，
圆心C到直线l距离是

| 2 2 + 2 2 +4 2 |

2

=5，
∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是

52-12

=2

6

（10分）

点评：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．