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如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧棱CC1上的一点,CP=m.
(1)求二面角C1-DB-C的正切值;
(2)试确定m,使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3
2
分析:解法一(几何法)(1)连AC,设AC∩BD=O,连接OC,OC1,可得∠COC1即为二面角C1-DB-C的平面角,解Rt△COC1,即可得到二面角C1-DB-C的正切值.
(2)设AP与面BDD1B1交于点G,连OG,可得∠AGO即为AP与面BDD1B1所成的角,解Rt△AOG,即可得到一个关于m的方程,解方程即可得到满足条件的m的值.
解法二(向量法)(1)建立如图所示的空间直角坐标系,分别求出平面C1DB和平面DBC的法向量,代入向量夹角公式,即可得到二面角C1-DB-C的正切值;
(2)分别求出直线AP的方向向量与平面BDD1B1的法向量,根据根据直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3
2
,构造一个关于m的方程,解方程即可得到满足条件的m的值.
解答: 解法一(几何法):
解:(1)如图,连AC,设AC∩BD=O,连接OC,OC1
则AC⊥BD,CC1⊥BD,
∴BD⊥平面CC1O,
∴BD⊥CC1
故∠COC1即为二面角C1-DB-C的平面角
在Rt△COC1中,CC1=1,CO=
2
2

则tan∠COC1=
CC1
OC
=
2

故二面角C1-DB-C的正切值为
2

(2)设AP与面BDD1B1交于点G,连OG,
因为PC∥面BDD1B1,而BDD1B1∩面APC=OG,
故OG∥PC,
所以OG=
1
2
PC=
m
2

又AO⊥DB,AO⊥BB1
所以AO⊥面BDD1B1
故∠AGO即为AP与面BDD1B1所成的角
在Rt△AOG中,tan∠AGO=
2
2
m
2
=3
2

即m=
1
3
.?
故当m=
1
3
时,直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3
2
.?
解法二(向量法)
解:(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),P(0,1,m),C(0,1,0),D(0,0,0),B1(1,1,1),D1(0,0,1)?
CC1
=(0,0,1)为平面DBC一个法向量,
m
=(x,y,z)为平面C1DB的一个法向量,则
m
BD
=0
m
BC1
=0
x+y=0
-x+z=0

m
=(1,-1,1)
设二面角C1-DB-C的平面角为θ
则cosθ=
m
CC1
|
m
|•|
CC1
|
=
3
3

则sinθ=
6
3
,tanθ=
2

即二面角C1-DB-C的正切值为
2

(2)∵
BD
=(-1,1,0),
BB1
=(0,0,1),?
AP
=(-1,1,m),
AC
=-1,1,0),?
又由
AC
BD
=0,
AC
BB1
=0知,
AC
为平面BB1D1D的一个法向量.?
设AP与平面BB1D1D所成的角为θ,?
则sinθ=cos(
π
2
-θ)=
|
AP
AC
|
|
AP
|•|
AC
|
=
2
2
2
+m2

依题意有
2
2
2
+m2
=
3
2
1+(3
2
)2
,?
解得m=
1
3
,??
故当m=
1
3
时,直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为3
2
点评:本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,直线与平面所成的解,其中解法一的关键是找到线面夹角和二面角的平面角,将空间线面夹角问题和二面角问题转化为解三角形问题;而解法二的关键是建立空间坐标系,求出直线的方向向量和平面的法向量,将空间线面夹角问题和二面角问题转化为向量夹角问题.
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