分析 (Ⅰ)建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1.求出相关点的坐标,利用数量积为0,证明BC⊥DE.PC⊥DE,即可证明DE⊥平面PBC.
(Ⅱ)求出平面EFD的一个法向量,平面DEB的法向量,设求二面角F-DE-B的平面角为θ,利用空间向量的数量积求解即可.
解答 (Ⅰ)∵侧棱PD⊥底面ABCD,底面ABCD是正方形,
∴如图建立空间直角坐标系,点D为坐标原点,设DC=1.
依题意得$A(1,0,0),P(0,0,1),E(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$.B(1,1,0),C(0,1,0)
$\overrightarrow{DE}=(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$,$\overrightarrow{BC}=(-1,0,0)$$\overrightarrow{PC}=(0,1,-1)$
故$\overrightarrow{BC}•\overrightarrow{DE}=0$,$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{DE}=0$
所以BC⊥DE.PC⊥DE
∵PC∩BC=C
∴DE⊥平面PBC
(Ⅱ)$B(1,1,0),\overrightarrow{PB}=(1,1,-1)$,又$\overrightarrow{DE}=(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2})$,故$\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{DE}=0$,所以PB⊥DE.
由已知EF⊥PB,且EF∩DE=E,所以PB⊥平面EFD.
所以平面EFD的一个法向量为$\overrightarrow{PB}=(1,1,-1)$.$\overrightarrow{DE}=(0,\frac{1}{2},\frac{1}{2}),\overrightarrow{DB}=(1,1,0)$,
不妨设平面DEB的法向量为$\overrightarrow a=(x,y,z)$
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow a•\overrightarrow{DE}=\frac{1}{2}(y+z)=0\\ \overrightarrow a•\overrightarrow{DB}=x+y=0\end{array}\right.$
不妨取x=1则y=-1,z=1,
即$\overrightarrow a=(1,-1,1)$…(10分)
设求二面角F-DE-B的平面角为θ,
$cosθ=\frac{{\overrightarrow a•\overrightarrow{PB}}}{{|\overrightarrow a||\overrightarrow{PB}|}}=-\frac{1}{3}$…(11分)
因为θ∈[0,π],所以$sinθ=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$.
二面角F-DE-B的正弦值大小为$\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$.
点评 本题考查二面角的平面角的求法,空间向量数量积的应用,考查计算能力,转化思想的应用.
科目:高中数学 来源: 题型:填空题
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科目:高中数学 来源: 题型:解答题
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