Question

三角形ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的三边，能得出三角形ABC一定是锐角三角形的条件是

④

（只写序号）
①sinA+cosA=

1

5

   ②

AB

•

BC

＜0   ③b=3，c=3

3

，B=30°   ④tanA+tanB+tanC＞0．

Answer 1

分析：①两边同时平方可得，sinAcosA=-

12

25

＜0，从而可判断
②由

AB

•

BC

＜0 可得π-B＞

1

2

π，可得0＜B＜

1

2

π，但是角A，C的范围无法确定
③由b=3，c=3

3

，B=30°，利用正弦定理可得，

b

sinB

=

c

sinC

可求sinC，进而可求C，A
④利用正切的和角公式变形形式tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）化简整理．

解答：解：①由sinA+cosA=

1

5

，两边同时平方可得，sinAcosA=-

12

25

＜0
∴sinA＞0，cosA＜0
∴A＞

1

2

π，三角形ABC是钝角三角形
②由

AB

•

BC

＜0 可得π-B＞

1

2

π
∴0＜B＜

1

2

π，但是角A，C的范围无法确定
③由b=3，c=3

3

，B=30°，利用正弦定理可得，

b

sinB

=

c

sinC

∴sinC=

csinB

b

=

3

2

∵c＞b
∴C＞B=30°
∴

C=60° A=90° A=30°

或

C=120° B=30° A=30°

均不是锐角三角形
④∵tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）
∴tanA+tanB+tanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC=tanC（tanAtanB-1）+tanC=tanAtanBtanC＞0，
∴A，B，C是△ABC的内角，故内角都是锐角
正确的判断有④
故答案为：④

点评：本题以三角形的形状的判断为载体，主要考查了同角平方关系、向量的夹角的定义、正弦定理及两角和的正切公式的综合应用．