Question

【题目】如图，四棱锥的底面为菱形，，．平面平面，，，分别是，的中点．

（1）求证：//平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求直线与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】

（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形，再利用线面平行判定定理，即可证得结论；

（2）分别以所在方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，设与平面所成角为，代入公式，即可得答案；

（1）取中点，连接，

分别是的中点，，且，

菱形中，是的中点，，且，

，且，

∴四边形是平行四边形，

，

又平面平面，

平面．

（2）取中点，连接，

．

∴平面平面，平面平面平面，

平面，

则为与平面所成的角，即．

在中，，

，

中，

．

如图，分别以所在方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，

则，

．

设平面的一个法向量，

由得

令

设与平面所成角为，

，

∴直线与平面所成角的正弦值为．