Question

如图，在正方体ABCD—A₁B₁C₁D₁中，M、N、E、F分别是棱A₁B₁、A₁D₁、B₁C₁、C₁D₁的中点，AB=a.

(1)求证:平面AMN∥平面EFDB;

(2)求异面直线BE与MN之间的距离.

Answer 1

(1)证明:∵MN∥EF,∴MN∥平面EFDB.

    又AM∥DF，

    ∴AM∥平面EFDB.而MN∩AM=M，

    ∴平面AMN∥平面EFDB.

(2)解：∵BE平面EFDB，MN平面AMN,

    且平面AMN∥平面EFDB,

    ∴BE与MN之间的距离等于两平行平面之间的距离.

    作出这两个平面与平面A₁ACC₁的交线AP、OQ，作OH⊥AP于H.

    ∵DB⊥平面A₁ACC₁，

    ∴DB⊥OH.

    而MN∥DB，

    ∴OH⊥MN.

    则OH⊥平面AMN.

    ∵A₁P=a,AP=a,

    设∠A₁AP=θ,则cosθ==,

    ∴OH=AO·sinθ=a·a=a.

    ∴异面直线BE与MN的距离是a.