Question

盒子内装有5张卡片，上面分别写有数字1、1、2、2、2，每张卡片被取到的概率相等．先从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字x，然后放回盒子内搅匀，在从盒子中任取1张卡片，记下它上面的数字y．设M=x+y，f(t)=

3

5

t2-Mt+

18

5

．
（1）求随机变量M的分布列和数学期望；
（2）设“函数f(t)=

3

5

t2-Mt+

18

5

在区间（2，4）内有且只有一个零点”为事件A，求A的概率P（A）．

Answer 1

分析：（1）依题意，M的可能取值为2，3，4，根据独立重复试验的公式得到要求的各自的概率，从而得出随机变量M的分布列和数学期望．
（2）对于不同的M值，看函数f(t)=

3

5

t2-Mt+

18

5

在区间（2，4）内是否有且只有一个零点，从而得出事件A相当于M=3．再利用（1）的结论即可得出答案．

解答：解：（1）依题意，M的可能取值为2，3，4．
先从盒子中任取1张卡片，然后放回盒子内搅匀，在从盒子中任取1张卡片，基本事件总数为×5=25，
当M=2时，摸出的卡片上分别写着数学1，1．P（M=2）=

2×2

25

=

4

25

；
当M=4时，摸出的卡片上分别写着数学2，2．P（M=4）=

3×3

25

=

9

25

；
当M=3时，P（M=3）=1-P（M=2）-P（M=4）=

12

25

．
所以M的分布列：

∴EM=2×

4

25

+3×

12

25

+4×

9

25

=

16

5

；
（2）∴M的可能取值为2，3，4．
当M=2时，f(t)=

3

5

t2-2t+

18

5

没有零点，不符合要求；
当M=3时，f(t)=

3

5

t2-3t+

18

5

，它的零点分别是2，3，在区间（2，4）内有且只有一个零点，符合要求；
当M=4时，f(t)=

3

5

t2-4t+

18

5

，它的零点分别是

10- 46

3

，

10+ 46

3

，都不在区间（2，4）内，不符合要求；
∴事件A相当于M=3，由（1）知，
事件A的概率P（A）=P（M=3）=

12

25

．

点评：求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题，题目做起来不难，运算量也不大，只要注意解题格式就问题不大．