Question

已知函数f(x)=

1

3

ax3+x2+2x+1（a≤0）．
（I）求函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程；
（II）若函数f（x）在（-2，-1）上单调递减，且在（0，1）上单调增，求实数a的取值范围；
（III）当a=-1时，若?x₀∈（t，0]，函数f（x）的切线中总存在一条切线与函数f（x）在x₀处的切线垂直，求t的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用导数的几何意义，求出曲线在该点处的导数，即切线的斜率，然后代入y=kx+b，从而得到切线方程；
（II）分两种情况讨论：当a=0时，函数f（x）=x²+2x+1符合题意；当a＜0时，先求f′（x），由于函数f（x）在（-2，-1）上单调递减，且在（0，1）上单调增，以在（-2，-1）上导函数f′（x）≤0及在（0，1）上f′（x）≥0恒成立，即满足

f′(-2)＜0 f′(-1)≤0

和

f′(0)＞0 f′(1)≥0

都成立．从而解出这两个不等式组即可求出实数a的取值范围．
（III）当a=-1时f（x）=-

1

3

x3+x2+2x+1，函数f（x）所有切线的斜率都必须满足k=f′（x）≤3，如果不存在这样的切线与函数f（x）在x₀处的切线垂直即是-

1

f‘(x0)

＞3，解得x₀的范围，然后求出存在时x₀的范围，再利用?x₀∈（t，0]，求出t的范围，从而求出最值．

解答：解：（I）f′（x）=ax²+2x+2，f′（0）=2，f（0）=1
∴函数f（x）在（0，f（0））处的切线方程为y=2x+1；
（II）当a=0时，f（x）=x²+2x+1，满足题意；
     当a＜0时，f′（x）=ax²+2x+2，则由于函数f（x）在（-2，-1）上单调递减，且在（0，1）上单调增，
所以在（-2，-1）上导函数f′（x）≤0及在（0，1）上f′（x）≥0恒成立，
即满足

f′(-2)＜0 f′(-1)≤0

 ①和

f′(0)＞0 f′(1)≥0

②都成立．由①得

a(-2)2+2×(-2)+2＜0 a(-1)2+2×(-1)+2≤0

解得a≤0，
由②得a≥-4，∴-4≤a＜0；
综上，a的取值范围是-4≤a＜0．
（III）∵当a=-1时f（x）=-

1

3

x3+x2+2x+1，∴f′（x）=-x²+2x+2=-（x-1）^2₊₃，即函数f（x）所有切线的斜率都f′（x）≤3，
如果不存在这样的切线与函数f（x）在x₀处的切线垂直即是-

1

f‘(x0)

＞3，即

-1

-x02+2x0+2

＞3，
解得1+

3

＜x0 ＜1+ 

10 3

或1-

10 3

＜x0＜1-

3

，即存在这样的切线符合条件，则x₀的范围是
x0≤1-

10 3

或1-

3

≤x0≤1+

3

或x0≥1+

10 3

，
又知x₀≤0，∴x0≤1-

10 3

或1-

3

≤x0≤0，又∵?x₀∈（t，0]，∴（t，0]⊆(-∞，1-

10 3

]∪[1-

3

，0]
∴1-

3

≤t，故t的最小值为1-

3

点评：本题考查了导数的几何意义及利用导数研究函数的单调性，解题时注意结合图形，进行分类讨论