【题目】设函数f(x)= (其中p2+q2≠0),且存在公差不为0的无穷等差数列{an},使得函数在其定义域内还可以表示为f(x)=1+a1x+a2x+a2x2+…+anxn+…
(1)求a1 , a2的值(用p,q表示);
(2)求{an}的通项公式;
(3)当n∈N*且n≥2时,比较(an﹣1)an与(an) 的大小.
【答案】
(1)解:由题意,得 ,
显然x,x2的系数为0,所以 ,
从而a1=﹣p,
(2)解:考虑xn(n≥3)的系数,则有an+pan﹣1+qan﹣2=0,
因数列{an}是等差数列,所以an﹣2an﹣1+an﹣2=0,所以(2+p)an﹣1=(1﹣q)an﹣2对一切n≥3都成立,
若an=0,则p=q=0,与p2+q2≠0矛盾,
若数列{an}是等比数列,又据题意{an}是等差数列,则{an}是常数列,这与数列{an}的公差不为零矛盾,
所以2+p=1﹣q=0,即p=﹣2,q=1,
由(1)知a1=2,a2=3,所以an=n+1.
(其他方法:根据题意可以用p、q表示出a1,a2,a3,a4,由数列{an}为等差数列,利用2a2=a1+a3,2a3=a2+a4解方程组也可求得.其它解法酌情给分.)
(3)解:由(2)可得:(an﹣1)an=nn+1,(an) =(n+1)n
当n=2时,a1a2=23,=8,a2a1=32,=9,∴a1a2<a2a1.
当n≥3时,nn+1>(n+1)n即(an﹣1)an>(an) ,下面用数学归纳法证明.
①当n=3时,34=81,43=64,∴64<81.结论成立.
②假设n=k时,结论成立,即kk+1>(k+1)k.
下面证明n=k+1时成立.
由假设得 ,因为(k+1)2>k(k+2),即: ,
所以 > = ,
即(k+1)k+2>(k+2)k+1.所以n=k+1时,结论也成立.
综上n∈N*且n≥3时,(an﹣1)an>(an)
【解析】(1)化简已知条件,利用方程的系数关系列出方程,求解即可.(2)考虑xn(n≥3)的系数,推出an+pan﹣1+qan﹣2=0,利用数列{an}是等差数列,数列{an}是等比数列,推出矛盾,利用(1)知a1=2,a2=3,求出an . (3)通过当n=2时,推出a1a2<a2a1 . 当n≥3时,(an﹣1)an>(an) ,利用数学归纳法证明即可.
【考点精析】利用等差数列的性质对题目进行判断即可得到答案,需要熟知在等差数列{an}中,从第2项起,每一项是它相邻二项的等差中项;相隔等距离的项组成的数列是等差数列.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知圆,某抛物线的顶点为原点,焦点为圆心,经过点的直线交圆于, 两点,交此抛物线于, 两点,其中, 在第一象限, , 在第二象限.
(1)求该抛物线的方程;
(2)是否存在直线,使是与的等差中项?若存在,求直线的方程;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知复数z=(a2﹣7a+6)+(a2﹣5a﹣6)i(a∈R)
(1)若复数z为纯虚数,求实数a的值;
(2)若复数z在复平面内的对应点在第四象限,求实数a的取值范围.
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【题目】如图,在三棱锥中, ⊥平面, , , , 分别为的中点.(19)
(I)求到平面的距离;
(II)在线段上是否存在一点,使得平面∥平面,若存在,试确定的位置,并证明此点满足要求;若不存在,请说明理由.
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【题目】已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1 , a14=b4 . (Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=an+bn , 求数列{cn}的前n项和Sn .
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【题目】已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1 , a14=b4 . (Ⅰ)求{an}的通项公式;
(Ⅱ)设cn=an+bn , 求数列{cn}的前n项和Sn .
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