Question

设平面向量

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），定义运算⊙：

a

⊙

b

=x₁y₂-y₁x₂．已知平面向量

a

，

b

，

c

，则下列说法错误的是（　　）

• A、（

  a

  ⊙

  b

  ）+（

  b

  ⊙

  a

  ）=0
• B、存在非零向量a，b同时满足

  a

  ⊙

  b

  =0且

  a

  •

  b

  =0
• C、（

  a

  +

  b

  ）⊙

  c

  =

  a

  ⊙

  c

  +

  b

  ⊙

  c

• D、|

  a

  ⊙

  b

  |²=|

  a

  |²|

  b

  |²-|

  a

  •

  b

  |²

Answer 1

分析：根据定义不难得出B是错误的，

a

⊙

b

=x₁y₂-y₁x₂=0，说明向

a

、

b

是互相平行的向量，若

a

•

b

=0，说明它们是垂直的向量．因为不存在两个非零向量，它们既平行又垂直，故B选项是错误的，而对于其它选项，可以分别证明它们是真命题．

解答：解：对于A，由定义得，

a

⊙

b

=x₁y₂-y₁x₂，

b

⊙

a

=x₂y₁-y₂x₁，所以（

a

⊙

b

）+（

b

⊙

a

）=0成立，A正确．
对于B，因为两个向量

a

、

b

平行的充要条件是x₁y₂-y₁x₂=0，若非零向量a，b同时满足

a

⊙

b

=0且

a

•

b

=0，说明两个向量既平行又垂直，故B选项是错误的．
设对于C，设

c

=(m，n)，则（

a

+

b

）⊙

c

=（x₁+x₂，y₁+y₂）⊙

c

=n（x₁+x₂）-m（y₁+y₂）=（nx₁-y₁m）+（nx₂-my₂）=

a

⊙

c

+

b

⊙

c

，故C选项是正确的．
 对于D，|

a

⊙

b

|²=（x₁y₂-y₁x₂ ）²=x₁²y₂²-2x₁x₂y₁y₂+y₁²x₂²
|

a

|²|

b

|²-|

a

•

b

|²=（x₁²+y₁²）（x₂²+y₂²）-（x₁x₂+y₁y₂）²=x₁²y₂²-2x₁x₂y₁y₂+y₁²y₂²，因此D选项是正确的．
故选B

点评：本题考查了在新定义下向量数量积的应用，属于基础题．牢记面向量的平行、垂直的充要条件，准确运用它们的坐标运算，是解决本题的关键．