Question

5．旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元，旅游团中的每人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅游团的人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若旅游团的人数多于30人，则给与优惠，每多1人，机票费每张减少10元，但旅游团的人数最多有75人，
（Ⅰ）设旅游团的人数为x人，飞机票为y元，求y关于x的函数解析式；
（Ⅱ）那么旅游团的人数x为多少时，旅行社可获得的利润最大？
（飞机票总收费=每张飞机票价×旅行团人数；  利润=飞机票总收费-包机费）

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据自变量x的取值范围，分0≤x≤30或30＜x≤75，确定每张飞机票价的函数关系式；
（Ⅱ）利用所有人的费用减去包机费就是旅行社可获得的利润，结合自变量的取值范围，可得利润函数，结合自变量的取值范围，分段求出最大利润，从而解决问题．

解答 解：（Ⅰ）设旅游团的人数为x人，每张飞机票价为y元，旅行社可获得的利润为W元．
则当0≤x≤30时，y=900x-15000；当30＜x≤75时，y=900-10（x-30）=-10x+1200．
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{900x-15000，0≤x≤30}\\{-10x+1200，30＜x≤75}\end{array}\right.$；
（Ⅱ）当30＜x≤75时，W=（-10x+1200）x-15000=-10x²+1200x-15000．
∵当0≤x≤30时，W=900x-15000随x的增大而增大，
∴当x=30时，W_最大=900×30-15000=12000（元）；
∵当30＜x≤75时，W=-10x²+1200x-15000=-10（x-60）²+21000，
∴当x=60时，W_最大=21000（元）；
∵21000＞12000，
∴当x=60时，W_最大=21000（元）．

点评 此题考查了分段函数以及实际问题中的最优化问题，培养学生对实际问题分析解答能力，属于中档题．